INVERSIBILITe DE LA FONCTION EXPONENTIELLE D’UN CHAMP DE VECTEURS

Abstract

L'inversibilité de la fonction exponentielle a été étudiée par N.Kopell (1970) et M.I.Bryn (1974) qui ont donné des résultats négatifs et par J.Palis ,S.Smale (1969) ,J.Grabowski (1988) et A.Zajtz (2001) qui ont donné des résultats positifs. On a prolongè ces résultats pour des X-flots qui opèrent doucement sur un espace de Frêchet. Cette thèse est divisée en quatre chapitres. Dans le premier chapitre,on a donné des rappels sur les espaces de Frêchet et leurs propriétés. Dans le deuxième chapitre on définit les propriétés de la fonction exponentielle d'un champ de vecteurs ,en particulier : sa Xdérivation, son développement en série entière au voisinage de zéro, le développement en série de Fourier. Dans le troisième chapitre on applique le Théorème de Nash-Moser des fonctions implicites pour définir l'inversibilité de la fonction exponentielle.Enfin dans le quatrième chapitre, les caractéristiques des opérateurs adjoints permettent de définir:la stabilité douce de degré r et de base b dans les espaces de Frêchet de certains systèmes dynamiques. Les idéaux de codimensions finies dans les espaces de Frêchet ayant une structure hyperbolique. The invertibility of the exponential function was studied by N.Kopell (1970) and M.I.Bryn (1974) which gave negative results and J.Palis, S.Smale (1969) J.Grabowski (1988) and A . Zajtz (2001) which gave positive results. We extended these results to the X-Flows which operate smoothly on a Fréchet space. This thesis is divided into four chapters. In the first chapter, we gave reminders on Frechet spaces and their properties. In the second chapter we define the properties of the exponential function of a vector field , in particular: Its X-derivation ,its series expansion around zero, its development in Fourier series. In the third chapter the Nash-Moser theorem of implicit function is applied to define the invertibility of the exponential function. Finally, in the fourth chapter, the characteristics of adjoint operators allow us to define: Tame stability of degree r and base b in Frechet spaces of certain dynamical systems,The ideals of finite codimension in Fréchet spaces having a hyperbolic structure.