Equations différentielles ordinaires.

Abstract

On peut diviser le monde des équations di¤érentielles (EDO) en deux: le monde familier, qui correspond en gros aux équations linéaires, et le monde étrange. Le monde familier: La plus simple: x0 = ax: Plus généralement, x0 = a(t)x + b(t); ou bien x0 = Ax en dimension supérieure. La caractéristique principale : on exprime les solutions avec des formules. Le monde étrange: Exemple 0.1 loi de la dynamique et loi de la graviation(Newton).ceci permet de modéliser le système solaire par une EDO.Cette EDO est non linéaire: on peut résoudre le problème des deux corps (ce qu.a fait Newton), mais pas au-delà. Exemples de solutions complexes (animation). Hors de portée de ce cours... requins et sardines (Volterra 1920). En l.absence d.interractions X0 = ax et y0 = ..by; le nombre de rencontres est proportionnelle à xy; on obtient x0 = ax .. cxy y0 = ..by + dxy On ne peut pas résoudre, mais on sait néanmoins décrire le comportement qualitatif des 8 solutions. Et déjà, dire qu.elles éxistent! Exemple 0.2 Petites oscillations du pendule. On ne sait pas résoudre l.équation y00 = sin(y) .on peut linéariser, et éspérer que l.équation linéarisée décrit le comportement des petites oscillations, mais comment le justi.er? La forme la plus générale d.une équation di¤érentielle ordinaire (en abrégé EDO) est F(t; u; u0; :::; u(k)) = 0: où u est une fonction inconnue de la variable réelle t à valeurs dans Rn ou plus généralement dans un espace de Banach X; u0; :::; u(k) désignent les dérrivées successives de u, et F est une fonction donnée, supposée <>(on précisera comment par la suite) sur I U U1 ::: Uk où I est un intèrvalle ouvert de R,U;U1; :::;Uk sont des ouverts connexes de X.On ne s.intéressera dans ce cours qu.à des équations di¤érentielles résolues, pour lesquelles il éxiste une fonction G, régulière sur I U U1 ::: Uk..1 telle que F(t; u; u0; :::; u(k)) = 0 , u(k) = G(t; u; u0; :::; u(k..1)): On observe de plus que u(k) = G(t; u; u0; :::; u(k..1)) , U0 = G(t;U); 9