Les Equations différentielles à retard dépendant de l’état.

Abstract

L'analyse des équations di érentielles à retard, a commencé dans les années (50) ; et l'une des premières approches est présenté par 'Krasovskii' (1977), qui généralise la deuxième méthode de 'Lyaponov'. Ensuite de nombreux auteurs, ont développé di érents problèmes, concernant l'analyse de la stabilité des équations di érentielles, avec un argument retardé. Parmi les équations di érentielles à retard, on distingue ceux qui sont à retard constant. Par exemple : Lorsque, nous passons notre permis de conduire, nous apprenons que le temps de réaction de notre système nerveux, lors de la conduite, est de l'ordre de quelques secondes, et qu'il faut prendre soin de mettre une distance su sante entre deux voitures qui se suivent, les épidémies, les maladies, possèdent un temps d'incubation, la dynamite inventé par 'Alfred Nobel' dispose d'un dispositif (la mèche) pour retarder le déclenchement de son explosion, son utilisation, serait di cile sans cet arti ce. D'après cet exemple, on remarque que le retard peut être utile, il peut même être absolument nécessaire Le retard multiple : Comme exemple, les organistes nécessitent un certain temps d'adaptation, lorsqu'ils jouent sur un orgue qu'ils ne connaissent pas. En e et à cause du temps de propagation de l'air dans les tuyaux, le retard entre le moment où le musicien enfonce la touche du clavier et le moment où le son retentit dans la salle, peut être assez conséquent, de l'ordre de la demie seconde, pour certains grands orgues, théoriquement, ce retard varie en fonction de la hauteur de la note, puisque les tuyaux sont de longueurs di érentes, ce qui est en fait un exemple des systèmes à retards multiples Dans ce travail ; on propose de donner une introduction aux équations di érentielles à retard (concernant la dé nition, existence et unicité.) Dans un premier temps, on donne un exemple où ce genre d'équations se présente comme le modèle le plus adéquat, il sera suivit par une présentation de la méthode des pas pour l'intégration des équations di érentielles à retard. Une fois, que le théorème d'existence et d'unicité est présenté, une comparaison avec les équations di érentielles ordinaire sera faite. Dans le deuxième chapitre ; on va s'intéresser à la linéarisation des équations diff érentielles à retard (lorsque le retard est nul et di érent de zéro). A n d'étudier l'existence des solutions et leur stabilité, puis on termine dans le troisième chapitre avec les équations di érentielles à retard dépendant de l'état ; où on s'intéressera à la dé nition, existence et unicité, ainsi qu'à la solution constante.