Théorème des fonctions implicites.

Abstract

En mathématiques , le théorème des fonctions implicites est un résultat de géométrie di¤érentielle. Certaines courbes sont dénies par une équation cartésienne ; cest-à-dire la forme f(x; y) = 0 , où x 2 E et y 2 F deux ensembles donnés . Le théorème indique que si la fonction f est su¢ samment régulière au voisinage d un point de la courbe , alors il existe une fonction ' de E dans F et au moins aussi régulière que telle que localement, la courbe et le graphe de la fonction ' sont confondus. Plus précisément, si (x0; y0) véri e léquation f(x0; y0) = 0, si f est continûment di¤érentiable et que sa dérivée partielle par rapport à y en (x0; y0 ) est inverssible, alors il existe un voisinage de (x0; y0) sur lequel la zone sidentie au graphe de ' Ce théorème admet une variante générale, qui sapplique à des espaces de Banach.Ce résultat est une forme équivalente du théorème d'inversion locale qui indique qu une fonction di¤érentiable et su¤- isamment régulière est localement inversible, c est une conséquence directe d'un théorème du point xe Ce théorème sapplique dans di¤érentes branches des mathéma- tiques, sous cette forme ou sous celle de linversion locale. Il intervient dans un contexte plus géométrique, pour létude des variétés di¤érentielles, on le trouve encore dans l étude des équa- tion di¤érentielles où il est entre autre, utilisé à travers le théorème du redressement d un ot, permettant de démontrer le théorème de poincaré-Bendixson Il dépasse le cadre des mathématiques, les physiciens ou les économistes en font usage, lorsque certaines vari-able ne peuvent être dénies explicitement, mais uniquement mi-p licitement à laide d'une équation implicite donnée.