Noyaux non-négatifs Irréductibilité - Cycles .

Abstract

Ce mémoire développe quelques résultats sur les noyaux de transition, non- négatifs, il s’intéresse plus particulièrement aux concepts de l'irréductibilité, les ensembles petits , les fonctions petites , et le cycle d’un noyau non-négatif.La th eorie des cha^ nes de Markov a valeurs dans un espace d' etat quelconque est bas ee sur l' etude des op erateurs non-n egatifs induits par les noyaux de transition non-n egatifs, dits souvent les noyaux non- n egatifs. La relation etroite entre ces deux axes est analogue a celle entre les cha^ nes de Markov a valeurs dans un espace d' etat discret et les matrices non n egatives. L' etude des noyaux non-n egatifs n ecessite des techniques avanc ees et fait intervenir souvent des arguments de la th eorie de la mesure plus elabor es. En d epit de ces di cult es, au d ebut des ann ees 1970, la th eorie g en erale sur cette classe et plus g en eralement sur les cha^ nes de Markov avait et e d evelopp e a un etat de maturit e o u tous les probl emes fondamentaux avaient et e resolus d'une mani ere satisfaisante. A cette epoque plusieurs monographies ont et e publi es. Sans ^etre exaustif, nous pouvons citer Foguel (1969), Orey (1971), Rosenblatt (1971), Revuz (1975). Nous developpons dans ce m emoire quelques r esultats pr esent es dans [3] sur les noyaux non-n egatifs. Nous nous interessons plus particuli erement aux concepts de l'irr eductibilit e, les ensembles petits , les fonctions petites , et les cycles. Ce document est compos e de trois chapitres. Dans le premier, nous introduisons les noyaux de transition non-n egatifs et les ensembles clos , le noyau potentiel et la notion de communication induite par un noyau. Nous etablissons ensuite un th eor eme important qui porte sur l'existence d'un noyau sous stochastique equivalent a un noyau .. fini: Nous traitons dans le deuxi eme chapitre la notion de l'irr eductibili e. Nous donnons quelques propri et es de l'ensembles des etats qui communiquent avec un ensemble de mesure strictement positive et nous elaborons un th eor eme sur l'existence et l'unicit e de la mesure d'irr eductibilit e maximale. Nous pr esentons ensuite la condition minimale et nous montrons que pour un noyau irr eductible, il existe toujours un ensemble petit . Le troisi eme chapitre est consacr e a l' etude du comportement p periodique d'un noyau poss edant la condition minimale. Nous établissons,sous cette condition, l'existence et l’UNICEF e d'un cycle.