Sur quelques problèmes elliptiques de type de Kirchhoff et dynamique des fluides.

Abstract

Cette thèse est composée de deux parties indépendantes. La première est consacrée à l’étude de quelques problèmes elliptiques de type de Kirchhoff de la forme suivante : -M 2 Δ = f où , 0 1 2, f une fonction de Carathéodory et M une fonction strictement positive et continue sur . Dans le cas où la fonction f est asymptotiquement linéaire à l’infini par rapport à l’inconnue u, on montre, en combinant une technique de troncature et la méthode variationnelle, que le problème admet au moins une solution positive quand la fonction M est non décroissante. Et si un paramètre réel et g une fonction de classe ! et changeant de signe sur ", alors sous certaines hypothèses sur M, il existe deux réels positifs $ et $tels que le problème admet des solutions positives si % % $ et n’admet pas de solutions positives si & $ Dans la deuxième partie, on étudie deux problèmes soulevés en dynamique des fluides. Le premier est une généralisation d’un modèle décrivant la propagation unidirectionnelle dispersive des ondes longues dans un milieu à deux fluides. En écrivant le problème sous la forme d’une équation de point fixe, on montre l’existence d’au moins une solution positive. On montre ensuite sa symétrie et son unicité. Le deuxième problème consiste à prouver l’existence de la vitesse, la pression et la température d’un fluide non newtonien, incompressible et non isotherme, occupant un domaine borné, en prenant en compte un terme de convection. L’originalité dans ce travail est que la viscosité du fluide ne dépend pas seulement de la vitesse mais aussi de la température et du module du tenseur des taux de déformation. En se basant sur la notion des opérateurs pseudo-monotones, le théorème de De Rham et celui de point fixe de Schauder, l’existence du triplet, (vitesse, pression, température) est démontrée.Abstract: This thesis consists of two independent parts. The first is devoted to the study of some elliptic problems of Kirchhoff-type in the following form: -M 2 Δ = f where , 0 1 2,, f a Carathéodory function and M is a strictly positive and continuous function on . In the case where the function f is asymptotically linear at infinity with respect to the unknown , we show, by combining a truncation technique and the variational method, the problem admits a positive solution when the function M is nondecreasing. And if

, where p> 0, λ a real parameter and g is a function of class ! and changes the sign in ", then under some assumptions on M, there exist two positive real $ and $such that the problem admits positive solutions if % % $ and no positive solutions if & $ In the second part, we study two problems arising in fluid dynamics. The first is a generalization of a model describing the unidirectional dispersive propagation of long waves in medium with two fluids. By writing the problem as a fixed point equation, we prove the existence of at least one positive solution. We then show its symmetry and uniqueness. The second problem is to prove the existence of the velocity, pressure and temperature of a non-Newtonian fluid, incompressible and isothermal, occupying a bounded domain, taking into account a convection term. The originality in this work is that the fluid viscosity depends not only on speed but also on temperature and modulus of deformation rate tensor. Based on the notion of pseudo-monotone operators, the De Rham theorem and the Schauder fixed point, the existence of the triplet, (speed, pressure, temperature) is shown.