Approche par la methode de Nehari d’un probleme elliptique a donnees indefinies

Abstract

L’objet de notre m´emoire est l’application de la m´ethode de Nehari pour ´etablir l’existence de solutions d’une ´equation semi lin´eaire elliptique avec fonctions poids changeant de signe. Le probl`eme qu’on consid`ere s’ins`ere dans la forme de probl`emes g´en´erale : −∆u(x) = f(x, u) avec des conditions aux limites. Pour aborder cette classe de probl`emes, on compte, aujourd’hui, trois diff´erentes classes d’approches. Les m´ethodes topologiques, les m´ethodes variationnelles (pour les probl`emes sous forme variationnelle) et les m´ethodes num´eriques pour une approximation des solutions. Parmi les m´ethodes topologiques on retrouve la lin´earisation (le th´eor`eme d’inversion locale), la bifurcation, la m´ethode du degr´e topologique, les th´eor`emes de point fixe ou encore la m´ethode des sous et sur solutions. Quant aux m´ethodes variationnelles [11] [8]leur principe est de passer d’une recherche de solutions d’´equation aux d´eriv´ees partielles `a une recherche d’ex tremums (points critiques) d’une fonctionnelle J(dite fonctionnelle d’´energie)