Sur l’existence et la r´egularit´e des solutions dans une classe de probl`emes elliptiques non-lin´eaire

Abstract

Ce m´emoire de Master est consacr´e `a l’´etude d’existence, d’unicit´e et de r´egularit´e des solutions pour des probl`emes elliptiques non lin´eaires. Etant donn´e Ω un ouvert born´e de ´ R N , N ≥ 2, nous consid´erons le probl`eme suivant ( −∆p(u) = −div u (|∇ = 0 sur u| p−2∇u) = ∂Ω f(x) dans Ω ou bien le mod`ele g´en´eral de la forme ( A(u) = −div(a(x u ) = 0 sur |∇u| p−2∇u) = ∂Ω f(x) dans Ω (1) o`u f ∈ L m(Ω), m > 1, 1 < p < N, 0 < α ≤ a(x) ≤ β. La th´eorie classique des ´equations elliptiques non lin´eaires affirme que dans l’espace fonctionnel W0 1,p(Ω) il existe des solutions faibles de (2), si la fonction f appartient au dual de W0 1,p(Ω) contrairement au cas contraire. Ce m´emoire est d´ecompos´e en trois chapitres : — Dans le premier chapitre on rappelle quelques notions sur les es paces fonctionnels tels que les espaces de Lebesgue, de Sobolev, les injections de Sobolev ainsi que quelques in´egalit´es principales (Sobolev, Poincar´e,...). On termine ce chapitre par la d´efinition des fonctions de troncatures et les points critiques.